Week4

1 Determinants in Depth §

1.1 Singularity and rank of linear tx §

Singular matrix를 쓰면 line으로 transformation 하게 됨

Transformation 결과를 한장의 그림으로 요약하면 아래와 같음

1.2 Determinant as an area §

$$\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right]->det(A)=5$$

Tx결과인 오른쪽을 잘 계산하면 면적이 나온다

Determinant가 negative인 경우는? 

두 벡터의 순서에 따라 sign이 달라진다.

1.3 Determinant of a product §

product를 했을 때 determinant는 어떻게 되는가

$$\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ -3& 3\end{array}\right]$$

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}det(A)=5,det(B)=3,det(C)=15\\ \text{where C}=A\cdot B\\ det(AB)=det(A)det(B)\end{array}\end{array}$$

면적으로 기억해도 됨

면적을 5배, 3배를 만드는 Linear transformation의 연속으로도 볼 수 있음

1.4 Determinant of Inverse §

$$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right]}^{-1}& =\left[\begin{array}{cc}0.4& -0.2\\ -0.2& 0.6\end{array}\right]\\ det=5& det=1/5\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\\ \\ det(AB)=det(A)det(B)\\ det(A{A}^{-1})=det(A)det(A^{-1})\\ det(I)=det(A)det(A^{-1})\\ 1=det(A)det(A^{-1})\\ \therefore det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\end{array}\end{array}$$

2 Eigenvalues and Eigenvectors §

2.1 Bases in Linear Algebra §

Bases란?

각 공간에 있는 점은 base의 조합으로 표현 가능함. 이 정의에 따르면 한 plane에서 base는 여러가지가 될 수 있음

Base가 아닌경우?

같은 방향의 두 벡터의 경우 base가 될 수 없음

2.2 Span §

벡터 둘의 조합으로 다다를 수 있는 모든 점들 두 벡터가 평행하지 않으면 평면, 두벡터가 평행하면 라인이 될 것임

basis is a miniminal spanning set

한 선은 하나의 vector로 모든 span을 표현 가능함. 따라서 두개의 벡터가 있는경우 이 친구들은 basis가 될 수 없고 하나만 선택

평면은 두개의 벡터로 span을 만들 수 있음. 따라서 세개의 vector는 redundant하기 때문에 basis가 될 수 없음

2.3 Eigenbaes §

PCA 등에 매우 중요한 개념임

Matrix가 fundamental base에 미치는 영향

Scale되는 경우 Stretch만 되는 경우

왜 유용한가 -> Linear Tx를 간편하게 표현 가능함

• Eigen vector : TX와 평행한 두 벡터
• Eigen Value : Stretching value

2.4 Eigenvalues and Eigenvectors §

Eigenvector를 찾는 법

https://www.youtube.com/watch?v=ajXb3N6QEqc

평행사변형을 이용해 Linear transformation을 만듬

Eigenspace는 TX후에도 자기 자신인 것들( Eigenvector로 정의 되는 각 선)

좀더 자세한 내용은 CH6 - Eigenvalues and Eigenvectors에 정리함

#linearalgebra#math#eigenvalue#eigenvector