CH1 - Introduction To Vectors

1 pset 1.1 §

1. 다음 linear combination에 대해 geometrically 설명하시오

   1. $$(a)\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]and\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 9\end{array}\right](b)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]and\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right](c)\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right]and\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right]and\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$
      1. (a) 두 vector가 평행함 -> Line
      2. (b) $a\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\ 2b\\ 3b\end{array}\right]$ abs x와 [0,2,3]을 포함하는 Plane
      3. All space

3. u=(1,2,3) , v=(-3,1,-2), w=(2,-3,-1)

   1. u+v+w = (0,0,0)
   2. 2u+2v+w=(-2,3,1)
   3. u,v,w는 같은 plane위에 있음. 왜냐하면 w=cu+dv 이기 때문에 이때 c,d는?
      1. c,d = -1
4. $$c\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\text{with c=0,1,2 and d = 0,1,2}$$

   위 9개의 linear combination 그리기

5. $\text{(1,1),(4,2) and (1,3) are three corners of parallelogram. What are three of the possible fourth corners. Draw two of them}$

2 Length and dot product §

닷 프로덕트를 하게 되면 다음과 같은 속성을 가짐

1. $v=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],w=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$의 $v\cdot w=(1)(4)+(2)(5)=14$임
2. $v=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right],w=\left[\begin{array}{c}4\\ -4\\ 4\end{array}\right]$이 두 벡터는 직교함. 왜냐하면 둘의 dot product = 0이기 때문임. $(1)(4)+(3)(-4)+(2)(4)=0$
3. $v=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right]$의 길이의 제곱은 $v\cdot v=14$임. 따라서 $||v||=\sqrt{14}$(여기서 $||v||$는 벡터의 길이를 뜻함)
4. 그렇다면 $u=\frac{v}{||v||}=\frac{v}{\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right]$가 되며 이때 $||u||=1$이 됨
5. $\cos \theta$를 이용해 두 벡터간 각도를 구할 수 있음. $\cos \theta =\frac{v\cdot w}{||v||||w||}$
6. $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]와\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$사이 각도는 $\cos \theta =\frac{1}{(1)(\sqrt{2})}$를 통해 $\theta =45°$
7. $|\cos \theta |\le 1$이기 떄문에 $|v\cdot w|\le ||v||||w||$

두 백터의 dot prouct 또는 inner product는 다음과 같이 정의함

$$\begin{array}{c}v\cdot w=v_1{w}_1+v_2{w}_2\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

예시 1

v=(4,2)와 w=(-1,2)의 dot product 는 zero 

$$\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=-4+4=0$$

dot product에서 값이 0 이라는 뜻은 두 벡터가 직교한다는 것임. 여기서 주목할 점은 dot product의 순서를 바꿔도($v\cdot w,w\cdot v$) 결과는 변하지 않는다는 것임. 이를 식으로 풀어 설명해보면 아래와 같음

$$\begin{array}{rlrl}v\cdot w& =v_1{w}_1+v_2{w}_2& & \\ & =w_1{v}_1+w_2{v}_2<-\text{swap v,w}& & \\ & =w\cdot v& & \end{array}$$

예시2

엔지니어링에서 Linear Algebra

x=-1 에 weight 4만큼 부여하고, x=2에 weight 2만큼 부여해도 균형점은 x=0가 됨. 이를 formulation하면 아래와 같이 됨 (4)(-1)+(2)(2)=0

예시3

비즈니스 또는 경제에서 Linear Algebra

가격과 수량을 vector로 표현해서 Income을 구할 수 있음 Price = $(p_1,p_2,p_3)$, quantity = $(q_1,q_2,q_3)$라 하면 Income은 둘의 dot product로 구할 수 있음 $Income=(p_1,p_2,p_3)\cdot (q_1,q_2,q_3)$

중점 $v\cdot w=v_1{w}_1+\cdots +v_n{w}_n$

2.1 Length and Unit vectors §

vector 자기 자신과 dot product경우가 중요한 케이스임. 예를 들어 $v=(1,2,3)$이라 하면 $v\cdot v=||v|{|}^2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]=1+4+9=14$ 자기 자신의 dot product는 length의 제곱이 됨. 그렇다면 여기에 루트를 씌우면 해당 vector의 길이를 알 수 있음

정의 : 벡터의 길이

$length=||v||=\sqrt{v\cdot v}=(v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2{)}^{1/2}$

그래

#linearalgebra#dotproduct